Variable Transformation

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Variable Transformation

Marketing Mix Model 에서는 다음의 두 가지 가설을 따름:

광고 투자는 시차 효과(lagged effect)를 가지며 시간이 지나도 이월됨. 예를 들어, 오늘 광고를 보고 다음 주에 구매.
광고 투자는 수익 체감 효과(diminishing returns)를 가짐. 즉, 광고비를 많이 쓸수록 효율이 떨어짐.

Robyn 패키지에서는 이러한 가설을 반영하기 위해 다음과 같은 변수 변환(variable transformation) 기법을 사용:

adstock transformation
saturation transformation

Adstock Transformation

Adstock 은 광고의 효과가 광고 집행 시점에만 나타나는 것이 아니라, 일정 기간 동안 지속되다가 점차 감소하는 현상을 설명하는 이론. Adstock transformation은 이러한 광고 이월 (ads carryove / Lagged Effect + Decay Effect) 효과를 모델링하는 기법.

Gemoetric Adstock Transformation

Gemoetric Adstock은 광고 효과가 광고 집행 시점에 최고조에 달하고, 이후 일정한 비율로 기하급수적으로 감소한다고 가정하는 가장 기본적인 모델.

\text{media\_adstocked}_i = \text{media\_raw}_i + \text{decay\_rate} \cdot \text{media\_adstocked}_{i-1}

$i$ : time period (e.g., day, week)
$\text{media\_adstocked}_i$ : 현재 시점(i)의 Adstock 수준 (누적된 광고 효과)
$\text{media\_raw}_i$ : 현재 시점(i)에 집행된 광고량 (예: 광고비, 노출수)
$\text{decay\_rate}$ : 이전 시점의 Adstock이 현재 시점까지 남아있는 비율을 나타내는 값으로, 0과 1 사이의 값을 가짐. (1에 가까울수록 광고 효과가 오래 지속됨)

Weibull PDF & CDF (와이블 분포)

Gemoetric Adstock 모델이 광고 효과가 즉시 최고조에 달한다고 가정하는 반면, 와이블 분포는 더 유연한 형태로 광고 효과의 지연 및 소멸 패턴을 모델링하는 데 사용됨. 형상 모수(Shape Parameter, k 또는 β)와 척도 모수(Scale Parameter, λ)라는 두 가지 매개변수를 통해 다양한 형태의 분포를 만들어 낼 수 있는 것이 가장 큰 특징

와이블 확률 밀도 함수 (Weibull PDF - Probability Density Function): 특정 시점 t에서 광고가 미치는 영향의 크기를 나타냄. 즉, 시간 경과에 따른 광고 효과의 변화 곡선을 보여줌.
와이블 누적 분포 함수 (Weibull CDF - Cumulative Distribution Function): 특정 시점 t까지 발생한 광고 효과의 총 누적량을 나타냄. 이는 시간에 따른 총 광고 효과의 합계를 보여주므로, Adstock의 개념과 직접적으로 연결될 수 있음.

Saturation Transformation

Saturation(포화도) 는 광고 투자를 계속 늘리더라도 그에 따른 반응(예: 매출, 인지도)의 증가율이 점점 감소하는 현상을 설명하는 이론. 이는 경제학의 기본 원리인 수익 체감의 법칙(The Law of Diminishing Returns) 에 근거함.

다음은 힐 함수(Hill Function) 를 사용한 saturation transformation:

\text{media\_saturated}_j = \frac{1}{1 + (\frac{\text{gamma}_j}{\text{media\_adstocked}_j})^{\text{alpha}_j}}

$\text{gamma}_j$ $gamma_{j}$ : inflection point (변곡점)
- 광고 효과가 최대치의 50%에 도달하는 지점을 결정하는 scale parameter.
- 값이 클수록 광고 효과가 포화되는 속도가 느리다는 뜻
$\text{alpha}_j$ $alpha_{j}$ : 곡선의 기울기 (growth rate)
- s-curve의 가파른 정도를 결정하는 shape parameter.
$j$ : 특정 광고 채널 (예: TV, digital, social media 등)

x 축을 이월 효과가 반영된 광고 지출 (media_adstocked), y 축을 포화 효과가 반영된 광고 효과 (media_saturated) 로 그래프를 그리면 S-curve 를 띄게 됨.